Dopo aver conseguito la laurea in Matematica all’Università di Vienna, Anna Kiesenhofer ha proseguito i suoi studi in altri prestigiosi atenei europei, tra cui l’Università inglese di Cambridge, fino a raggiungere il titolo di Dottorato di ricerca. Durante tutti i suoi studi, la Kiesenhofer non ha mai abbandonato l’attività sportiva continuando ad allenarsi a livello agonistico prima in sport come il Duathlon e il Triathlon, e poi concentrandosi sulle gare di Ciclismo, fino a conquistare un pass per le Olimpiadi di Tokyo 2020 per la prova in linea di Ciclismo su strada come unica rappresentante dell’Austria. È proprio sulle strade giapponesi che si è realizzata l’impresa, un sogno da tutti ritenuto impossibile.

Dato il livello altissimo delle avversarie, la campionessa austriaca ha studiato una possibile strategia vincente: provare un attacco da lontano, anzi da lontanissimo, decidendo di andare in fuga a partire dal km 0 con alcune altre atlete. La fuga ha raggiunto un buon margine di distacco dal gruppo principale senza, inizialmente, impensierire le atlete favorite. Basti pensare che nella prova maschile del giorno prima la fuga ha sfiorato i 25 min di vantaggio dal gruppo principale venendo comunque raggiunto a più di 60/70 km dal traguardo. A differenza della prova maschile, però, il gruppo non è riuscito ad organizzare un inseguimento deciso consentendo alla Kiesenhofer di proseguire il suo attacco, in cui tra l’altro è rimasta da sola nella parte conclusiva della prova dopo aver staccato le sue compagne di fuga. Da qui, nonostante la grande fatica e il caldo asfissiante, è riuscita a conservare il vantaggio fino al traguardo, grazie ad una strepitosa prestazione che ha sorpreso tutti, perfino la van Vlueten che all’arrivo pensava di aver vinto, non sapendo che circa un minuto prima aveva tagliato il traguardo in solitaria una inimmaginabile matematica austriaca!

A volte accade l’impossibile e non bisogna mai smettere di crederci. Il ciclismo, e lo sport in generale, ne sono una dimostrazione. Complimenti ad Anna Kiesenhofer, e grazie per averci regalato questa forte emozione!

Alessandro La Farciola

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Questa citazione è tratta dal film “The Imitation Game”, (regia di Morten Tyldum, 2014) il cui protagonista è un matematico di nome Alan Turing. Nato a Londra nel 1912, Alan Turing è oggi ricordato non solo come il padre del computer, grazie ai suoi studi innovativi sulle macchine e i calcolatori, ma anche – e soprattutto – come il “Genio” che riuscì a sconfiggere Enigma. Inventata e costruita da un ingegnere berlinese di nome Arthur Scherbius nel 1918, Enigma è una macchina cifrante a rotori che fu utilizzata da Hitler e il suo esercito durante la Seconda Guerra Mondiale per comunicare senza essere intercettati, o più precisamente, senza essere capiti dagli Alleati. La macchina Enigma aveva l’aspetto di una macchina da scrivere con due tastiere: una inferiore e la seconda superiore costituita da lettere luminose che si accendevano ad ogni tasto premuto sulla prima. La sequenza delle lettere che si illuminavano dava il messaggio cifrato e ogni operatore aveva la possibilità di scriverlo a mano posizionando una dopo l’altra le lettere illuminate.

La struttura fisica della macchina e ulteriori marchingegni aggiunti in seguito rendevano praticamente impossibile la decodificazione della stessa: il numero totale di chiavi era pari a 10¹⁶ circa (10 milioni di miliardi di combinazioni possibili).

Detto questo, si può chiaramente immaginare quanto fosse difficile provare a violare una macchina così strutturata e quanto fosse stato arduo per gli Alleati provare a comprendere in anticipo le mosse di Hitler e i suoi, se si aggiunge il fatto che durante la guerra le impostazioni della macchina variavano di giorno in giorno secondo una tabella ben precisa. Eppure, già prima della guerra, nel 1932, un gruppo di crittografi polacchi riuscì a violare la macchina Enigma. I Tedeschi però, avendolo scoperto, decisero di modificare tutte le sue impostazioni soprattutto in preparazione alla guerra rendendola, come loro stessi credevano, “indecifrabile”. Pertanto, ciò che si trovarono di fronte gli Inglesi fu tutta un’altra Enigma.

I Britannici organizzarono a Bletchley Park fin dal 1939 un team di matematici, ingegneri e arguti linguisti che iniziarono a combattere una guerra parallela a quella conosciuta e studiata sui libri di storia: una guerra all’ultimo codice. Il campione inglese di scacchi, il celebre John Chadwick (linguista che pochi anni dopo decodificò la difficile e incomprensibile Lineare B, la misteriosa scrittura minoica), insieme a ingegneri reclutati attraverso la risoluzione di un cruciverba provarono in ogni modo a trovare la chiave giusta per risolvere Enigma, ma non ci riuscirono. Fu, però, il matematico giovanissimo Alan Turing a trovare la giusta soluzione. Egli si servì di alcune espressioni che si ripetevano continuamente nei messaggi tedeschi, come Heil Hitler! per costruire una macchina, una sorta di computer primordiale, nota come Colossus, che era in grado, ogni giorno, di forzare Enigma e riuscire a capire le impostazioni che quel giorno la governavano. Alan Turing, insieme al gruppo di crittoanalisti, continuarono il loro lavoro fino alla fine della guerra. Riuscivano a decifrare messaggi di bombardamenti, di missioni segrete, di attacchi continui dei tedeschi. In questo modo, gli Alleati ebbero un alleato in più, la matematica e grazie ad essa, la possibilità di prevedere le mosse di Hitler. Si dice che molte volte gli Inglesi, pur essendo a conoscenza del luogo e dell’ora degli attacchi, non intervennero per bloccarli, per evitare che i tedeschi capissero che erano riusciti a violare la macchina Enigma. Si dice addirittura che gli Inglesi erano a conoscenza dell’attacco giapponese di Pearl Harbor e che non avvisarono gli Americani per favorirne l’entrata in guerra al proprio fianco.

La storia della Guerra dei codici e la soluzione di Enigma rimase segreta per più di 30 anni e Alan Turing concluse la sua vita solo e devastato dai dolori provocati dalla castrazione chimica a cui fu condannato dopo esser stato processato per omosessualità. La straordinaria storia della sua vita si conobbe soltanto molti anni dopo la sua morte, quando fu finalmente svelata al mondo.

Seppur l’eroicità dei fatti raccontati possa aver subito, come è giusto che sia, un tono di epicità, oggi di una cosa si è certi: grazie all’intuizione di Turing e al lavoro incessante del team di Bletchley Park, la durata della Seconda Guerra Mondiale è stata ridotta di almeno due anni.

Alessandro La Farciola

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Tra i cinque postulati all’inizio enunciati, quello che ha destato maggiore interesse è stato fin da subito il V, il quale, secondo la versione di Morris Kline, recita:

“E che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minore di due angoli retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due angoli retti ”.

Esso afferma che se una retta taglia altre due rette realizzando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora prolungando le due rette esse si incontreranno proprio da quel lato, come nella figura sottostante.

La peculiarità di tale assioma è quella di non mostrare la propria veridicità in modo evidente e molti matematici successivi ad Euclide hanno provato a dimostrare il V postulato a partire dai precedenti, senza riuscirci.

È proprio l’importanza fondazionale che tale postulato assume nella Geometria euclidea che ha spinto alcuni matematici dell’800 ad inventare alcune geometrie alternative, dette non euclidee, in cui viene negato il V postulato di Euclide. Le due più importanti sono la Geometria iperbolica e, soprattutto, quella ellittica o di Riemann.

Nella prima, il V postulato viene sostituito da un assioma in cui si afferma che per un punto esterno a una retta data passa più di una retta parallela (e quindi ne esistono infinite); nella seconda, si asserisce che due rette qualsiasi hanno sempre almeno un punto in comune (ovvero non esistono rette parallele). Una conseguenza immediata di queste modifiche è che se per la Geometria euclidea la somma degli angoli interni di un rettangolo è sempre pari a 180°, per quella iperbolica la somma è inferiore, mentre per quella ellittica è maggiore.

La geometria di Riemann ha assunto un’importanza notevole, perché essa è localmente equivalente alla geometria sferica, ovvero la geometria della superficie di una sfera. Se immaginiamo, infatti, di realizzare un triangolo sulla superficie terrestre seguendo come lati due meridiani e l’equatore (come nella foto di copertina) allora la somma degli angoli interni sarebbe maggiore di 180°. Quindi no, la terra non è piatta, altrimenti la sua geometria sarebbe stata quella euclidea e i triangoli avrebbero avuto come somma degli angoli interni proprio 180°.

Alessandro La Farciola

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Ad Alessandro gli auguri della famiglia e della redazione di CBlive.

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Uno dei dilemmi più famosi in matematica è il noto “Dilemma del Prigioniero”, la cui formulazione formale, risalente agli Anni ’50 del Novecento, è dovuta ad Albert Tucker e costituisce un famoso problema della teoria dei giochi.

Due sospettati, A e B, sono interrogati da un investigatore al fine di capire chi dei due abbia commesso il reato, dato che le prove a disposizione non dimostrano evidenze certe. Dopo aver separato i due sospettati, l’investigatore interroga entrambi, dando loro la possibilità di scegliere tra due opzioni: collaborare o non collaborare. Se uno collabora e l’altro no, il primo sarà scagionato, mentre il secondo sarà condannato a 10 anni di carcere. Se tutti e due collaborano allora la pena da scontare sarà per entrambi di 5 anni. Se, invece, nessuno collabora allora saranno condannati ad un solo anno di carcere.

Qual è la scelta migliore da fare? Le strade possibili possono essere riassunte nella seguente tabella:

Osservando dall’esterno i possibili scenari, ovvero cercando di ottenere il miglior risultato possibile per entrambi i sospettati, la scelta più indicata sarebbe quella di non collaborare, perché la somma totale della pena ammonterebbe a due anni, meno che negli altri casi.

Nel gioco in questione però ognuno ha come obiettivo l’interesse individuale di minimizzare la propria condanna, senza poter sapere la scelta dell’altro.

Di conseguenza, la cosa più conveniente da fare è quella di collaborare.

Infatti, ciascun protagonista se collabora rischia 5 anni se anche l’altro collabora oppure 0 anni se l’altro non collabora; al contrario, se decide di non collaborare e l’altro lo fa va incontro a 10 anni; subirà invece 1 solo anno se anche l’altro non collaborerà. Pertanto, la scelta più razionale è per entrambi quella di collaborare producendo una situazione di gioco (collabora, collabora) che rappresenta l’unico equilibrio possibile per il dilemma del prigioniero.

Tale equilibrio costituisce un caso particolare del noto “Equilibrio di Nash”, un importante risultato della teoria dei giochi dovuto al matematico premio Nobel per l’economia nel 1994 John Nash.

Secondo lo studioso «Un gioco può essere descritto in termini di strategie, che i giocatori devono seguire nelle loro mosse: l’equilibrio c’è, quando nessuno riesce a migliorare in maniera unilaterale il proprio comportamento. Per cambiare, occorre agire insieme.».

L’equilibrio di Nash ci indica quindi quella situazione nella quale un gruppo si viene a trovare nel caso in cui ogni membro del gruppo fa ciò che è meglio per sé, rinunciando a cooperare.

Non è detto però che l’equilibrio di Nash sia la soluzione ottimale.

Il dilemma del prigioniero ha provocato grande interesse proprio come esempio di gioco in cui l’assioma di razionalità apparentemente fallisce, inducendo una scelta (collabora, collabora) che causa più danno ad entrambi i sospettati rispetto alla possibile scelta alternativa (non collabora, non collabora), che comporterebbe una pena pari a 1 solo anno di carcere per entrambi i prigionieri.

Quest’ultima soluzione sarebbe tuttavia possibile solo a condizione che si instaurasse tra i due una cooperazione vincolante, tale da indurre ciascuno ad agire non col fine di ottenere il miglior risultato per sé, ma di ottenere il migliore risultato per sé e per il gruppo.

Alessandro La Farciola

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1. Si scelga un numero naturale n;
2. Se n=1 allora l’algoritmo termina;
3. Se n è pari allora si divida per 2, se è dispari si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1.

Facciamo alcuni esempi: prendiamo n=10, essendo pari dividiamo per 2 e otteniamo 5, il quale è dispari e quindi bisogna moltiplicare per 3 e aggiungere 1, avendo come risultato 16 da cui 8, 4, 2, 1. Se, invece, n=11 si ottiene la successione 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10 e, come prima, 5, 16, 8, 4, 2, 1.  La congettura afferma che per qualsiasi scelta del numero di partenza l’algoritmo terminerà, ovvero non si verifica mai un ciclo infinito né la successione diverge all’infinito, ma si raggiungerà in ogni caso 1.

La congettura è vera? Sembrerebbe di sì, basta infatti scegliere a caso il numero di partenza e si ottiene sempre lo stesso risultato (qui si può provare: https://www.mathcelebrity.com/collatz.php?num=+27&pl=Show+Collatz+Conjecture). Anzi, fino ad oggi con l’aiuto dei computer sempre più potenti e veloci si è riuscito ad appurare che per tutti i valori fino a  la congettura è verificata. Eppure, non esiste alcuna dimostrazione matematica che ne garantisca la assoluta veridicità.

Con l’evoluzione tecnologica si potranno controllare numeri sempre maggiori, ideando algoritmi ancora più efficienti, ma la comunità scientifica ritiene improbabile che il più piccolo controesempio sia tanto grande. Ciò nonostante, finché non ci sarà una dimostrazione non si potrà essere soddisfatti e la congettura resterà ancora aperta.

Alessandro La Farciola

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Esiste un metodo molto interessante per approssimare le miglia in kilometri e viceversa (oltre a moltiplicare o dividere rispettivamente per 1.6). Facendo, infatti, attenzione al numero di conversione ci si può accorgere che esso sia approssimativamente uguale al numero aureo, il quale è pari a 1.618 (di cui abbiamo parlato anche qui: https://www.cblive.it/rubriche/alessandro-la-farciola/85214-alle-prese-con-la-matematica-la-successione-di-fibonacci.html).

È noto infatti, come chiarito anche nell’articolo appena citato, che il rapporto tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)  tende proprio al numero aureo, cioè dividendo un numero di Fibonacci per il suo successivo otteniamo qualcosa che si avvicina a 1.618; anzi, più sono grandi i numeri di Fibonacci, più l’approssimazione è efficace.

Alla luce della relazione appena osservata, è possibile quindi convertire i miglia in  kilometri con una discreta approssimazione semplicemente sostituendo la misura in miglia con il suo successivo numero di Fibonacci. Ad esempio, 8 miglia sono circa 13 km, oppure 13 miglia sono circa 21 km e più sono grandi i numeri, più la stima è precisa. Per la trasformazione inversa, cioè da kilometri in miglia, basta invece considerare il termine precedente della successione.

E se volessimo convertire una misura che non corrisponde ad un numero di Fibonacci, come il 100? Possiamo utilizzare un noto teorema della teoria dei numeri, il Teorema di Zeckendorf, che ci assicura di poter esprimere un qualsiasi numero intero come somma di numeri di Fibonacci. A questo punto possiamo approssimare ciascun addendo con il metodo di prima e poi sommare.

Ad esempio, 100 = 89+8+3 (tutti numeri di Fibonacci) e sommando i successivi termini di Fibonacci otteniamo: 144+13+5=162. E questa è una buona approssimazione, sapendo che 100×1,61=161.

Alessandro La Farciola

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È nato così un interrogativo comune: è possibile con una passeggiata percorrere tutti e sette i ponti attraversandoli una e una sola volta?

Ad una domanda così semplice non corrisponde una soluzione altrettanto semplice. Anche se qualcuno all’epoca provava empiricamente a trovare una risposta, camminando per ore nel centro di Kӧnigsberg, formalmente la soluzione è stata dimostrata da Eulero nel 1741, sfruttando importanti e generali risultati della teoria dei grafi. Il problema, infatti, si può schematizzare come un grafo, ovvero un insieme di nodi che possono essere collegati tra loro attraverso degli archi, diventando come nell’immagine seguente.

In generale Eulero stabilì che:

• Un grafo composto da nodi collegati da un numero pari di archi (nodi di ordine pari) può essere attraversato passando una e una sola volta per tutti i nodi, tornando così al punto di partenza.
• Un grafo che contiene nodi di ordine pari e solo altri due collegati con un numero dispari di archi (nodi di ordine dispari) può essere percorso, ma bisogna partire da uno dei due nodi di ordine dispari e arrivare necessariamente all’altro nodo di ordine dispari.
• Un grafo, infine, che contiene più di due nodi di ordine dispari non può essere percorso interamente senza attraversare archi già toccati in precedenza.

Allora qual è la soluzione del problema originario? Analizzando attentamente il grafo che schematizza la città di Kӧnigsberg con i suoi ponti, si può osservare che esso contiene quattro nodi aventi tutti ordine dispari.

Il problema, quindi, risulta impossibile.

Alessandro La Farciola

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Infatti, la matematica che si è diffusa nell’Occidente latino, e in particolare in Italia, a partire dal 1200 fino a tutto il Rinascimento è stata principalmente di tipo algebrico, la cosiddetta “Cultura dell’abaco”.

È in questo ambiente che nasce Niccolò Tartaglia, uno dei massimi esponenti tra i matematici del Rinascimento. A lui si deve uno dei risultati più importanti della matematica dell’abaco: la formula di risoluzione dell’equazione di terzo grado.

Molte storie si raccontano riguardo alla scoperta di tale formula ed esse sono dovute all’incredibile fama che Niccolò Tartaglia raggiunse già all’epoca.

Si racconta, infatti, che Niccolò fosse molto geloso delle sue scoperte e dopo aver trovato come risolvere un’equazione di terzo grado abbia tenuto il segreto per sé, nel timore che qualcuno potesse diffonderlo attribuendosene il merito. È così che nacque una disputa con un famoso medico esperto di matematica di Milano, Gerolamo Cardano, il quale era in procinto di pubblicare un trattato di algebra. Quest’ultimo invitò lo stesso Tartaglia nell’attuale capoluogo lombardo per farsi confidare l’ambita formula e ci riuscì promettendo di non divulgarla.

Non fu facile, ovviamente, convincere Tartaglia, il quale quando cedette lo fece scrivendo la formula in un linguaggio oscuro alla matematica: quello della letteratura. Realizzò una poesia in terzine dantesche di endecasillabi a rima incatenata, in cui nascose i simboli necessari per ricostruire la formula:

Alla fine, però, Cardano riuscì a decifrare tale codice e al primo pretesto possibile pubblicò la formula di Tartaglia che lui stesso aveva contribuito a migliorare, aiutato da Ludovico Ferrari, suo allievo (anche se, onestamente, non se ne attribuì tutto il merito).

Quindi come dice il proverbio: fidarsi è bene ma non fidarsi è meglio!

Alessandro La Farciola

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