La matematica di Alessandro

Nel mondo della matematica, il dilemma del prigioniero

Un dilemma è una forma di argomentazione in cui, nella maggior parte dei casi, vi è una scelta tra due opzioni da cui scaturiscono alcune conseguenze che possono essere positive o negative, a livello individuale o di gruppo.

Uno dei dilemmi più famosi in matematica è il noto “Dilemma del Prigioniero”, la cui formulazione formale, risalente agli Anni ’50 del Novecento, è dovuta ad Albert Tucker e costituisce un famoso problema della teoria dei giochi.

Due sospettati, A e B, sono interrogati da un investigatore al fine di capire chi dei due abbia commesso il reato, dato che le prove a disposizione non dimostrano evidenze certe. Dopo aver separato i due sospettati, l’investigatore interroga entrambi, dando loro la possibilità di scegliere tra due opzioni: collaborare o non collaborare. Se uno collabora e l’altro no, il primo sarà scagionato, mentre il secondo sarà condannato a 10 anni di carcere. Se tutti e due collaborano allora la pena da scontare sarà per entrambi di 5 anni. Se, invece, nessuno collabora allora saranno condannati ad un solo anno di carcere.

Qual è la scelta migliore da fare? Le strade possibili possono essere riassunte nella seguente tabella:

Osservando dall’esterno i possibili scenari, ovvero cercando di ottenere il miglior risultato possibile per entrambi i sospettati, la scelta più indicata sarebbe quella di non collaborare, perché la somma totale della pena ammonterebbe a due anni, meno che negli altri casi.

Nel gioco in questione però ognuno ha come obiettivo l’interesse individuale di minimizzare la propria condanna, senza poter sapere la scelta dell’altro.

Di conseguenza, la cosa più conveniente da fare è quella di collaborare.

Infatti, ciascun protagonista se collabora rischia 5 anni se anche l’altro collabora oppure 0 anni se l’altro non collabora; al contrario, se decide di non collaborare e l’altro lo fa va incontro a 10 anni; subirà invece 1 solo anno se anche l’altro non collaborerà. Pertanto, la scelta più razionale è per entrambi quella di collaborare producendo una situazione di gioco (collabora, collabora) che rappresenta l’unico equilibrio possibile per il dilemma del prigioniero.

Tale equilibrio costituisce un caso particolare del noto “Equilibrio di Nash”, un importante risultato della teoria dei giochi dovuto al matematico premio Nobel per l’economia nel 1994 John Nash.

Secondo lo studioso «Un gioco può essere descritto in termini di strategie, che i giocatori devono seguire nelle loro mosse: l’equilibrio c’è, quando nessuno riesce a migliorare in maniera unilaterale il proprio comportamento. Per cambiare, occorre agire insieme.».

L’equilibrio di Nash ci indica quindi quella situazione nella quale un gruppo si viene a trovare nel caso in cui ogni membro del gruppo fa ciò che è meglio per sé, rinunciando a cooperare.

Non è detto però che l’equilibrio di Nash sia la soluzione ottimale.

Il dilemma del prigioniero ha provocato grande interesse proprio come esempio di gioco in cui l’assioma di razionalità apparentemente fallisce, inducendo una scelta (collabora, collabora) che causa più danno ad entrambi i sospettati rispetto alla possibile scelta alternativa (non collaboranon collabora), che comporterebbe una pena pari a 1 solo anno di carcere per entrambi i prigionieri.

Quest’ultima soluzione sarebbe tuttavia possibile solo a condizione che si instaurasse tra i due una cooperazione vincolante, tale da indurre ciascuno ad agire non col fine di ottenere il miglior risultato per sé, ma di ottenere il migliore risultato per sé e per il gruppo.

Alessandro La Farciola

 

Redazione

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