Alessandro La Farciola

Nel mondo della matematica: la formula di Gauss

Qual è il risultato della somma dei numeri da 1 a 100? E’ questa la domanda che secondo la leggenda fece il maestro di Carl Friedrich Gauss a Gauss stesso quando aveva 8 anni, pensando di tenerlo impegnato per un po’. La risposta, d’altronde, fu immediata da parte del bambino: 5050. Come ha fatto? E’ davvero così immediato? Sì, se si conosce il trucco giusto. Proviamo a sommare:

1+2=3, 3+3=6, 6+4=10,             

Si potrebbe continuare in questo modo, ma sarebbe lungo e noioso.

Come si può ragionare allora? A noi interessa:

1+2+3+4+5+···+97+98+99+100

Riscriviamo ora la stessa riga ma al contrario e sommiamo in verticale: cosa otteniamo?

1  +   2 + 3     +···+ 98 + 99 + 100
100 +99 + 98   +···+ 3 + 2  +  1
           
101+101+101  +···+    101 + 101 + 101
|     {z         }

Si è quindi ottenuto che la somma delle due righe è pari a 101 × 100, ma dato che noi vogliamo solo una riga e non la somma di entrambe basta dividere per 2. Il totale insomma è:

Lo stesso ragionamento si può generalizzare e la formula appena utilizzata per calcolare la somma dei primi 100 numeri funziona per qualsiasi cifra al posto di 100. Ovvero, per ogni numero n:

Carl Friedrich Gauss è stato un grandissimo matematico vissuto a cavallo tra il ’700 e l ’800, ma tale relazione esistente tra i numeri incuriosì anche gli antichi Greci, in particolare i pitagorici, che ne scoprirono gli effetti costruendo i cosiddetti numeri triangolari (vedi Immagine).

Ognuno di questi numeri, infatti, si ottiene sommando a partire da 1:

  • 1

 

  • 1+2=3

 

  • 1+2+3=6

 

  • 1+2+3+4=10

 

  • 1+2+3+4+5=15

 

  • 1+2+3+4+5+6=21

 

Ma allora come si calcola l’n numero triangolare?

Semplice, con la formula di Gauss!

Alessandro La Farciola

Redazione

CBlive

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